Above is the link diagram of Hackworth valve gear. Red crosses are anchor point to the frame.

Very basic function of a valve gear is to move the valve in 90 degree phase difference against the piston. If efficiency is not a matter this arrangement only can run a steam engine. However to improve the efficiency valves should have "Lap" to allow cut-off. Also "Lead" is necessary to admit the steam slightly before the piston reaches its dead-points. So Lap+Lead will be an advance angle of the valve.

It is easy in case of Stephenson type. Just rotate the eccentrics by required advance angle from 90 degrees of the con-rod pin. In case of Walschaerts type, the return crank makes 90 degree phase shift and the combination lever combines this and movement of crosshead (no phase shift) to make required valve angle, say 110 degrees (90 deg. + 20 deg. Advance).

Now discuss how Hackworth type works. 90 degrees phase sift is taken from up-down movement of the point "A". Point "A" can be on an eccentric as the diagram or return crank as the photo. It should be taken from small circle (yellow) having 180 degree out of phase against the main crank. How the movement without phase shift is taken? It is easy by observing motion of the end of the return crank. This point ("A") moves on small yellow circle having two components 0 degree (back and forth) and 90 degree (up and down) shifts. These components are combined together by "Vibrating Link" in the same manner as combination lever of Walschaerts. Point "A" moves on small circle. So "Jack Link" and Anchor Link" in Joy type are not required.

上がハックワース式のリンク図。赤バツはフレームに固定。

バルブギアの一番基本的な機能はピストンから90°位相をずらしてバルブを動かす。効率とかを気にしなければこれだけで蒸気機関は動きます。効率を上げるために通常はカットオフができるようにするため弁にラップ（重なり）を付けます。さらにピストンが死点に達する少し前から蒸気の供給を開始するためにリードを付けます。ラップ+リードがバルブの進角になるわけです。

スティーブンソン式の場合は上記の進角分だけエキセントリックを90°からずらせばいいんで簡単です。ワルシャートの場合はリターンクランクで90°の位相差を作り、クロスヘッドからの位相差ゼロの動きをコンビネーション・レバーで合成し、望みの90°＋進角、例えば110°とかを作るわけです。

ハックワース式ではどうしているかというと90°の位相差は上図の”A"点の上下動からとってます。”A"点はリンク図のようにエキセントリックでも写真のようにリターンクランクでもよく、ようはメインクランクの180°反対側に回転半径の小さな円（黄色）から取ればいいということです。ピストンが前後に動くときに”A"点は上下にも動きます。これを捉えているわけですね。では位相差ゼロの動きはどうするか？”A"点は円軌跡上を動くので当然前後にも動きます。”A"点からは位相差0°（前後）と90°（上下）の両方の動きが取れるのです。そしてVibrating Linkがワルシャートにおけるコンビネーション・レバーと同等の働きをし位相差90°と0°の動きを合成しているのです。”A"点の動きは円で半径も小さいのでジョイ式の時に必要であった。前後方向の振れ幅を減少させるためのJack LinkとAnchor Linkは必要ありません。

Oval Diagram

This is the oval diagram of Hackworth type obtained from "Valve Gear Simulator". "2" shows forward and "3" shows reverse. As seen here there two do not match well and ovals are warped similar as Joy type. In Hackworth type up-down movement of driver directly affects the valve timing worth than Joy type because "vibrating link" is directory connected to the driver. Also the "vibrating link" keeps moving up-down in the grooves of linear guide wearing die-blocks as same as Joy type.
The structure of Hackworth type is so simple and may be good for small narrow gauge locos.

Mentioned above is my own idea and no guarantee it is collect.

これはValve Gear Simulatorが出してくれるハックワース式の楕円図です。2が前進、3が後進でズレがおおきいです。まあ、ジョイ式によく似てますね。ジョイ式と同じで、動輪の上下動でバルブ・タイミングの狂います。ただ動輪クランクから直に上下動をとっているのでジョイ式より劣悪です。さらにLinear Guideの溝の中をVibrating Linkが絶えず上下に摺動するのでダイブロックの摩耗が激しくメンテが大変なはずなのもジョイ式と同じです。非常にシンプル方式なのでナローの小型機関車にはいいかもしれません。

以上は私が勝手に考えたことなので正しい保証はありません。